4.4 通过多项式拟合来探索过拟合与欠拟合

生成数据集

我们将使用以下三阶多项式生成训练和测试数据：

$y=5+1.2x-3.4{x^2\over2!}+5.6{x^3\over3!}+\epsilon\ where\ \epsilon\sim\mathcal{N}(0,0.1^2)$

噪声项 $\epsilon$ 服从均值为0且标准差为0.1的正态分布。在优化的过程中，我们通常希望避免非常大的梯度值或损失值。所以我们将特征从 $x^i$ 调整为 $\frac{x^i}{i!}$ ，避免 $i$ 带来的很大的指数值。

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import math
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import numpy as np
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import torch
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from torch import nn
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from d2l import torch as d2l
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max_degree = 20    # 多项式的最大阶数
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n_train, n_test = 100, 100    # 训练和测试数据集大小
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true_w = np.zeros(max_degree)    # 分配大量的空间
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true_w[0:4] = np.array([5, 1.2, -3.4, 5.6])
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features = np.random.normal(size=(n_train + n_test,1))
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np.random.shuffle(features)
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# np.random.normal的位置参数loc=0.0,scale=1.0定义了正态分布
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poly_features = np.power(features, np.arange(max_degree).reshape(1, -1))
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# np.power(a,b)返回幂指数a^b
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# 这里是(200,1)^(1,20)=(200,20)
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#即对(200, 1)的x，分别进行0次方、1次方...19次方的计算
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for i in range(max_degree):
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    poly_features[:, i] /= math.gamma(i+1)    # gamma(n) = (n-1)!
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# labels的维度： (n_train + n_test, )
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labels = np.dot(poly_features, true_w)
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labels += np.random.normal(scale=0.1, size=labels.shape)
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# NumPy ndarray转换为tensor
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true_w, features, poly_features, labels = [torch.tensor(x, dtype=torch.float32)
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    for x in [true_w, features, poly_features, labels]]

训练和测试
首先实现一个函数来评估模型在给定数据集上的损失。

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def evaluate_loss(net, data_iter, loss):
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    """评估给定数据集上模型的损失"""
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    metric = d2l.Accumulator(2)    # 损失的总和，样本数量
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    for X, y in data_iter:
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        out = net(X)
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        y = y.reshape(out.shape)
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        l = loss(out, y)
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        metric.add(l.sum(), l.numel())
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    return metric[0] / metric[1]

现在定义训练函数。

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def train(train_features, test_features, train_labels, test_labels,
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          num_epochs=400):
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    loss = nn.MSELoss(reduction='none')    # 损失不求平均
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    input_shape = train_features.shape[-1]
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    # 输入数据的维数,线性模型是4阶，欠拟合<4，过拟合>4
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    # 不设置偏置，因为我们已经在多项式中实现了它
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    net = nn.Sequential(nn.Linear(input_shape, 1, bias=False))
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    batch_size = min(10, train_labels.shape[0])
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    # 把labels与features统一维度
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    train_iter = d2l.load_array((train_features, train_labels.reshape(-1, 1)),
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                               batch_size)
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    test_iter = d2l.load_array((test_features, test_labels.reshape(-1, 1)),
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                               batch_size, is_train=False)
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    trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.01)
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    animator = d2l.Animator(xlabel='epoch', ylabel='loss', yscale='log',
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                            xlim=[1, num_epochs], ylim=[1e-3, 1e2],
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                            legend=['train', 'test'])
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    for epoch in range(num_epochs):
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        d2l.train_epoch_ch3(net, train_iter, loss, trainer)
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        if epoch == 0 or (epoch + 1) % 20 == 0:
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            animator.add(epoch + 1, (evaluate_loss(net, train_iter, loss),
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                                     evaluate_loss(net, test_iter, loss)))
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    print('weight:', net[0].weight.data.numpy())

三阶多项式函数拟合（正常）

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# 从多项式特征中选择前4个维度，即1, x, x^2/2!, x^3/3!
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train(poly_features[:n_train, :4], poly_features[n_train:, :4],
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     labels[:n_train], labels[n_train:])

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weight: [[ 5.0153017  1.2179098 -3.404573   5.573755 ]]

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还是悄悄地去d2l库里把缺的这些方法补上了…

线性函数拟合（欠拟合）

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# 从多项式特征中选择前2个维度，即1和x
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train(poly_features[:n_train, :2], poly_features[n_train:, :2],
3
     labels[:n_train], labels[n_train:])

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weight: [[3.2892962 4.308353 ]]

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高阶多项式函数拟合（过拟合）
这个过于复杂的模型会轻易受到训练数据中噪声的影响。虽然训练损失可以有效地降低，但测试损失仍然很高。

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# 从多项式特征中选取所有维度
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train(poly_features[:n_train, :], poly_features[n_train:, :],
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     labels[:n_train], labels[n_train:], num_epochs=1500)

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weight: [[ 5.025822    1.2772155  -3.4720984   5.2113256   0.19187188  1.153992
2
   0.07611543 -0.11197536  0.02289135  0.20176187  0.19850163 -0.00605978
3
  -0.05850415 -0.20288932 -0.1583567  -0.09409655  0.07946095  0.04951369
4
   0.12990662 -0.04490566]]

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